カスタマーサポート職において、ポジションを上げていく為には２方向あるかと思います。まずは、技術的スキルを上げていく事、もうひとつは管理する人員の人数を増やす事です。そういった状況の中で貴方がカスタマーサポート職で御自身のスキルアップを考えていらっしゃるのであれば、前者の方向性は難しいと思います。理由と致しましては、現時点から技術分野の経験をつむ事が難しいからです。技術部門に転籍、転職するしかございません。したがって私はマネージメントを志向する事をお勧め致します。現在のマネージメントレベルは頂いている情報からは分かりかねますが、おそらくスケジュール管理、モチベーション管理くらいではないでしょうか？これから予算管理、採用業務、などの間接部門を含んだマネージメントスキルを獲得していきましょう。

もし、現職で更なるマネージメントを志向できる状況があるのであれば、留まったほうが良いかと思います。目安としては受け持ったグループの予算管理が出来るポジションかと思います。
転職においてアピールできるのは最低そのレベルのポジションではないでしょうか。又、現職でのマネージメントキャリアアップが望めない、若しくは時間が掛かりそうな状況であれば、上記をポイントとして、そういった状況が早急に望める企業を探して下さい。現在、テクニカルなカスタマーサポートを請け負っていアウトソーシング企業は多数ございます。そういった企業での就業は年収はあまり望めませんが、汎用性のある知識レベルのアップ、早期での責任あるポジションの獲得は出来るかと思います。